Dans cet article de blog, nous expliquerons comment la transformée de Fourier décompose les signaux et comment elle est appliquée dans des scénarios concrets, tels que la reconnaissance vocale.
Concepts de base de la transformée de Fourier
En 2012, la MIT Technology Review a classé la FFT (Transformée de Fourier Rapide) parmi les technologies les plus influentes. La transformée de Fourier est en effet un outil fondamental utilisé dans la quasi-totalité des appareils électroniques, notamment les appareils de communication comme les smartphones, les appareils photo produisant des photos nettes et les égaliseurs MP3. En génie électrique, la transformée de Fourier est si importante qu'elle figure depuis longtemps parmi les sujets d'enseignement les plus étudiés.
L'idée de base de la transformée de Fourier est de décomposer un signal physique en unités fondamentales plus simples. Ici, un « signal » désigne tout élément dont l'amplitude varie dans le temps. Le son ou la lumière, dont l'amplitude et l'intensité peuvent varier, sont des exemples de signaux. Ces unités fondamentales sont des ondes sinusoïdales, et chaque onde sinusoïdale possède sa propre fréquence.
Pour comprendre les ondes sinusoïdales et la fréquence, imaginez que vous agitiez une longue corde. Si vous bougez lentement la main, la corde monte et descend lentement, créant une onde dont les intervalles sont larges ; si vous bougez rapidement la main, les intervalles entre les ondes se raccourcissent. Si la corde effectue un mouvement de va-et-vient par seconde, on parle de 1 Hz ; si elle effectue deux mouvements par seconde, on parle de 2 Hz. Autrement dit, la fréquence est le nombre de répétitions par seconde et s’exprime en hertz (Hz).
L'analogie selon laquelle un signal est composé d'ondes sinusoïdales de différentes fréquences est similaire au mélange d'ingrédients en cuisine. De même que le poulet, l'eau, le gochujang et le sirop de maïs entrent dans la composition du dakdoritang, un signal unique contient également différentes ondes sinusoïdales — telles que 1 Hz, 2 Hz et 3 Hz — mélangées en proportions variables. Puisque le signal original est un mélange de ces composantes, il est difficile de l'analyser directement.
Le sel, le sable et la limaille de fer servent d'exemples de méthodes de séparation de mélanges. En les dissolvant dans l'eau et en filtrant la solution – puis en séparant le résidu, ce qui est attiré par un aimant et ce qui reste au fond – on peut déterminer les caractéristiques de chaque substance. De même, la transformée de Fourier décompose un signal complexe en composantes sinusoïdales, révélant l'amplitude et la fréquence de chacune. L'analyse de ces composantes séparées facilite la compréhension de la composition du signal.
Principes et applications pratiques de la transformée de Fourier
La transformée de Fourier utilise des ondes sinusoïdales comme unités de base car ces ondes entretiennent une relation unique entre elles : l’orthogonalité. Le produit et l’intégration d’ondes sinusoïdales de fréquences différentes donnent 0 ; le produit et la normalisation d’ondes sinusoïdales de même fréquence donnent une valeur spécifique (généralement 1). Grâce à cette propriété, on peut isoler l’amplitude de composantes fréquentielles spécifiques dans un signal.
Par exemple, supposons qu'un signal contienne une composante à 1 Hz d'amplitude 1, une composante à 2 Hz d'amplitude 2 et une composante à 3 Hz d'amplitude 3. Si l'on multiplie ce signal par une sinusoïde de 1 Hz et que l'on intègre le résultat, on obtient 1 ; si l'on le multiplie par une sinusoïde de 2 Hz, on obtient 2 ; et si l'on le multiplie par une sinusoïde de 3 Hz, on obtient 3. En effectuant ce produit scalaire avec le signal à différentes fréquences, on peut déterminer l'amplitude de chaque composante fréquentielle. La transformée de Fourier est un outil mathématique qui formalise ce processus.
Un exemple typique d'application de la transformée de Fourier est la reconnaissance vocale. La voix humaine est constituée d'ondes générées dans l'air par la vibration des cordes vocales, et un microphone convertit ces vibrations en signaux électriques. Le signal électrique conservant la forme exacte du signal vocal original, un ordinateur lui applique la transformée de Fourier pour analyser ses composantes fréquentielles.
Chaque voix possède une distribution de fréquences unique, et chaque phonème (par exemple, /p/, /t/, /s/, /a/, etc.) a également ses propres composantes de fréquence distinctes. Les systèmes de reconnaissance vocale analysent ces composantes de fréquence séparées pour déterminer les phonèmes présents et identifier le locuteur. Cette capacité a permis le développement d'applications concrètes telles que les assistants vocaux pour smartphones et est utilisée dans des services comme Siri.
Le génie électrique est le domaine d'étude qui convertit des données de bas niveau en signaux électriques, analyse et traite ces signaux pour les transformer en informations de haut niveau, et recherche des méthodes pour transmettre ces informations aux humains ou agir en leur nom. En ce sens, la transformée de Fourier est un outil essentiel qui nous permet d'appréhender les signaux sous un angle fréquentiel, nous ouvrant ainsi la voie à la résolution de problèmes sous un nouvel angle.
Les recherches sur la transformée de Fourier et les algorithmes comme la FFT (qui effectuent ces opérations plus rapidement) restent d'actualité. Avec les progrès technologiques, le champ d'application de la transformée de Fourier continuera de s'étendre, et la capacité à décomposer et recombiner les signaux – à l'instar de l'alchimie – continuera de constituer le fondement de nombreuses technologies électroniques à venir.
