Dans cet article de blog, nous expliquerons les principes, les exemples et les applications concrètes de l'algorithme de Dijkstra de manière facile à comprendre.
Introduction
Repensez au conte « Hansel et Gretel ». Lorsque leur belle-mère les abandonna dans la forêt, leur première tentative – semer des cailloux pour marquer leur chemin – échoua, et leur seconde – laisser des miettes de pain – ne connut pas le même sort, car les oiseaux les mangèrent. Si les applications de navigation ou de cartographie pour smartphones avaient existé à cette époque, les enfants ne se seraient pas perdus et le plan de leur belle-mère aurait été réduit à néant. Comme le montre cet exemple, le problème de « trouver le chemin le plus rapide d'un point de départ à une destination » est resté un sujet crucial à travers l'histoire, des contes anciens aux technologies d'aujourd'hui.
Graphiques et concepts de base
Pour comprendre l'algorithme de Dijkstra, il faut d'abord définir ce qu'est un « graphe » en informatique. Ici, un graphe n'est pas un graphe fonctionnel représenté dans le plan, mais une structure de données composée d'un ensemble de sommets et des arêtes qui les relient. Par exemple, si l'on considère les sommets comme des stations de métro ou des arrêts de bus, les arêtes deviennent les lignes de chemin de fer ou les routes qui relient ces sommets.
Les arêtes peuvent être pondérées ; ces valeurs représentent des coûts mesurables, comme la distance ou le temps nécessaire pour parcourir deux sommets. De plus, si les arêtes sont orientées, le graphe devient un « graphe orienté », où le déplacement est limité au sens de la flèche. L’algorithme de Dijkstra calcule la distance et le chemin les plus courts depuis un point de départ donné jusqu’à chaque autre sommet d’un tel graphe.
Fonctionnement de l'algorithme de Dijkstra
Expliqueons l'algorithme à l'aide d'un exemple courant. La valeur initiale du sommet de départ est fixée à 0, tandis que les valeurs initiales de tous les autres sommets sont fixées à l'infini (∞), ce qui signifie qu'aucune information de connexion n'est encore disponible. Ces valeurs représentent « la distance (ou le temps) le plus court connu à ce jour pour atteindre ce sommet depuis le point de départ ».
Dans un premier temps (étape 1), le sommet de départ est initialisé à 0. Dans un second temps (étape 2), pour chaque sommet voisin directement accessible depuis le sommet de départ, une valeur temporaire est enregistrée en ajoutant la valeur du sommet de départ (0) au poids de l'arête correspondante. Dans cet exemple, ces valeurs sont 8, 9 et 11. Le traitement du sommet de départ est alors terminé.
Un « sommet traité » désigne un sommet pour lequel aucun chemin plus court n'a pu être trouvé, ce qui signifie que sa distance minimale définitive a été déterminée. Dans l'algorithme de Dijkstra, une fois la distance minimale vers un sommet ainsi déterminée, ce sommet est marqué comme traité et sa valeur n'est plus modifiée.
À la troisième étape (étape 3), nous sélectionnons le sommet ayant la plus petite valeur parmi les valeurs temporaires enregistrées. Dans cet exemple, le sommet de valeur 8 est sélectionné. À partir de ce sommet, les distances entre le point de départ et ce sommet sont utilisées pour mettre à jour les valeurs des sommets environnants. Au cours de ce processus, des mises à jour sont effectuées ; par exemple, les nouvelles distances candidates pour certains sommets adjacents sont calculées à 18. Une fois le traitement de ce sommet terminé, il est marqué comme traité.
À la quatrième étape (étape 4), nous traitons le sommet dont la valeur est immédiatement inférieure à la valeur actuelle ; dans cet exemple, celui dont la valeur est 9. Pour ce sommet également, nous calculons les distances candidates pour ses sommets adjacents de la même manière. Au cours de ce processus, de nouvelles valeurs candidates (par exemple, 15, 10, 12) peuvent apparaître pour les sommets auxquels une valeur est déjà attribuée. Si une nouvelle valeur est inférieure à la valeur existante, elle remplace cette dernière ; sinon, la valeur d'origine est conservée. Cette opération est appelée « relaxation des arêtes » et est une procédure nécessaire car nous recherchons toujours le chemin le plus court.
À partir de la cinquième étape (étape 5), la même méthode est répétée. À chaque itération, le sommet présentant la plus petite valeur temporaire parmi ceux non encore traités est sélectionné, et les valeurs temporaires de ses sommets adjacents sont mises à jour en les relâchant via les arêtes adjacentes. En répétant ce processus jusqu'à ce que tous les sommets aient été traités, on peut déterminer les distances les plus courtes entre le point de départ et chaque sommet, ainsi que les chemins les plus courts.
Exemple d'application : Réseaux et routeurs
Les réseaux informatiques constituent un excellent exemple de domaine où l'algorithme de Dijkstra est largement utilisé en pratique. Puisqu'il serait inefficace de connecter directement des milliards d'appareils à un seul réseau — comme c'est le cas pour Internet —, les appareils situés à proximité forment des réseaux locaux, eux-mêmes connectés à des réseaux de niveau supérieur selon une structure hiérarchique. Dans une telle structure de connexion complexe, il existe d'innombrables chemins entre les appareils.
Dans un réseau, chaque nœud (comme un routeur) doit évaluer les chemins en fonction de certains coûts (bande passante, latence, etc.) et trouver le chemin le plus rapide ou le moins coûteux vers la destination. Les routeurs utilisent des algorithmes de plus court chemin, tels que l'algorithme de Dijkstra, pour déterminer le chemin optimal – c'est-à-dire le prochain saut – vers lequel acheminer le trafic. Cependant, comme les conditions de trafic évoluent constamment en temps réel, il est plus pratique que chaque routeur fournisse uniquement des informations sur le segment de réseau immédiatement suivant – plutôt que d'annoncer un chemin fixe et complet – et que chaque routeur mette à jour ces informations à la volée au fur et à mesure de la construction du chemin.
Conclusion : Leçons tirées de la recherche de voies
Jusqu'à présent, nous avons examiné les concepts fondamentaux de l'algorithme de Dijkstra, son fonctionnement étape par étape et son application aux réseaux. Si Hansel et Gretel avaient voulu éviter de se perdre dans la forêt, ils auraient eu besoin d'une méthode de navigation plus fiable que de simples balises. En réalité, des algorithmes comme celui de Dijkstra jouent un rôle similaire lorsque nous nous orientons ou transmettons des données. J'espère que vous garderez à l'esprit les principes de l'algorithme de Dijkstra afin de ne pas vous laisser déstabiliser lorsque vous empruntez un chemin inconnu et de trouver des itinéraires efficaces, même au sein de réseaux complexes.
